انحراف معیار یا انحراف استاندارد که به اختصار با نماد “σ” نشان داده می شود، نشان می دهد که یک مقدار تا چه اندازه از میانگین انحراف دارد. پایین بودن انحراف معیار نشان می دهد که مقادیر اغلب کمی از میانگین فاصله دارند. در مقابل، بزرگ بودن انحراف معیار نشان می دهد که مقادیر فاصله زیادی از میانگین دارند. قبل از محاسبه انحراف معیار، یک سری نکات وجود دارد که باید بدانید.
محاسبه انحراف معیار در اکسل واقعا دشوار است زیرا چیز های زیادی هست که باید به خاطر بسپارید. به عنوان مثال، داده های گروه بندی شده یا نشده زیادی وجود دارد و فرمول انحراف معیار هم فرق دارد.
توی این پک فوق العاده، نرم افزارهای ضروری رو جوری یاد میگیری که تو هیچ کلاس آموزشی یا پک دیگه ای نه دیدی نه شنیدی! بدون هیچ کلاسی، یه سر و گردن از بقیه بالاتر باش!
انحراف معیار چیست؟
در آمار توصیفی، انحراف معیار میزان توزیع یا پراکندگی گسترده مجموعه های داده نسبت به میانگین آن ها را می سنجد. ارزیابی تنوع مجموعه داده ها از میانگین نشان می دهد که این داده چطور بین داده های داده شده پخش شده است. جذر واریانس نمونه، نشان دهنده انحراف معیار جامعه آماری، متغیر تصادفی، مجموعه داده ها یا توزیع احتمال است.
اگر n داده در مجموعه مشاهدات با مقادیر x1، x2…xn وجود داشته باشد، میانگین انحراف میانگین داده ها به صورت x1، x2…xn در نظر گفته می شود. با این وجود به نظر نمی رسد مجموع مجذور های انحراف از میانگین شاخص دقیقی برای پراکندگی باشد. اگر میانگین اختلاف مجذور از میانگین کم باشد، داده های xi به احتمال زیاد نزدیک به میانگین x هستند.
بلد باشید: آموزش تایپ ریاضی در ورد (و 5 نکته)
این پراکندگی در سطح پایین تری قرار دارد. اگر این مقدار کل زیاد باشد، انحراف بیشتری بین اعداد و میانگین x وجود دارد. با این اوصاف نتیجه می گیریم که ∑(xi-x̄)2 شاخص قابل اعتمادی از میزان پراکندگی یا پخش شدن است.
انحراف معیار یکی از ضروری ترین و حیاتی ترین معیار های ریسک است که توسط محققان، سبدگردانان یا مشاوران استفاده می شود. انحراف استاندارد صندوق های سرمایه گذاری مشترک توسط گروه های سرمایه گذاری افشا می شود. یک پراکندگی قابل توجه نشان می دهد که بازده سرمایه گذاری تا چه اندازه از میانگین بازده پیش بینی شده فاصله دارد. این داده ها اغلب به سرمایه‌گذاران و کاربران نهایی داده می شوند و درک شان ساده است.
چرا انحراف معیار مهم است؟
دلایل زیادی وجود دارد که نشان می‌دهند انحراف معیار داده مهمی است. برخی از آن ها عبارتند از:
1-هر زمان که داده ها پراکنده شوند، درک نتایج آسان تر می شود.
2- هر چه مجموعه داده به طور یکنواخت پراکنده باشد، انحراف معیار توزیع یا مجموعه داده قطعا بالاتر خواهد بود.
3- مدیران شرکت ها از انحراف معیار در اکسل برای درک مدیریت تهدید و گزینه های سرمایه گذاری عاقلانه تر در امور مالی استفاده می کنند.
4- این داده، محاسبه حاشیه خطا که معمولا در نتایج نظرسنجی ظاهر می شود را تسهیل می کند.
کاربرد های انحراف معیار
انحراف معیار در آمار در عملیات بسیاری استفاده می شود، به همین دلیل بسیاری از دانشگاه ها و مدارس ترجیح می دهند این مبحث درسی را در برنامه درسی شان بگنجانند. در ادامه به برخی از کاربرد های انحراف معیار خواهیم پرداخت.
1-بازاریابان اغلب انحراف معیار درآمد به دست آمده به ازای هر تبلیغ را محاسبه می کنند تا مشخص شود که تا چه حد می توان از یک تبلیغ خاص انتظار داشت.
2- مدیران منابع انسانی اغلب انحراف معیار درآمد را در یک صنعت خاص تعیین می کنند و بر اساس آن تصمیم می گیرند که چه نوع تغییر حقوقی را برای افرادی که تازه استخدام می شوند، به وجود بیاورند.
3- برای فهمیدن این که چقدر سن و سال مردم تنوع دارد، بیمه ارائه می دهند. محققان بیمه اغلب انحراف معیار آن سن را تعیین می کنند.
4- معلمان، مربیان یا اساتید می توانند با محاسبه انحراف معیار نتایج امتحانات برای کلاس های مختلف را تعیین کنند و ببینند که کدام کلاس ها بیشترین تنوع نمره را در بین دانش آموزان داشته اند.
فرمول انحراف معیار
انحراف معیار به تنهایی یکی از گسترده ترین مباحث مهندسی است. بسیاری از دانشجویان در درک این مبحث با مشکلات زیادی رو به رو هستند . از طرفی هم انحراف معیار بعد ها در موارد زیادی مثل اندازه گیری پراکندگی استفاده می شود و این مفهوم را به مراتب پیچیده تر می کند. اما راستش را بگوییم، محاسبه انحراف معیار چندان سخت نیست، حتی شاید ساده ترین چیزی باشد که یک فرد تا به حال محاسبه کرده است. شاید محاسبه برخی از مسائل ممکن است ساعت ها طول بکشد، اما در کل پیچیده نیست.
ساده ترین راه برای محاسبه انحراف معیار صرفا محاسبه میانگین داده های ارائه شده است. حالا باید فقط واریانس را محاسبه کنید. پس از آن، تمام مقادیر در فرمول زیر قرار می گیرند. پس بیایید نحوه یافتن فرمول انحراف استاندارد را با هم بررسی کنیم.
فرمول محاسبه انحراف استاندارد
انحراف معیار را می توان به راحتی با جذر واریانس محاسبه کرد. برای محاسبه واریانس، فرد اول باید میانگین را محاسبه کند. با در نظر گرفتن این موضوع، در ادامه یک نمونه فرمول انحراف معیار برای محاسبه واریانس معیار آورده شده است . نماد انحراف معیار، σ است.
x̄=حاصل میانگین مجموعه داده
xi=i امین نقطه داده در مجموعه داده ها
n = اندازه مجموعه داده بر حسب نقاط داده
انحراف معیار چگونه محاسبه می شود؟
مراحل محاسبه انحراف معیار
از آن جایی که محاسبه میانگین اجباری است و در کنار انحراف معیار نمونه خیلی استفاده می شود، بسیاری از کارشناسان ترجیح می دهند در هنگام محاسبه انحراف معیار ابتدا میانگین را محاسبه کنند. اما این مسئله اختیاری ست یعنی ممکن است برخی میانگین را به طور جداگانه محاسبه کنند و برخی در حین محاسبه انحراف معیار. بنابراین ما این تصمیم را به خواننده واگذار می کنیم. نحوه یافتن انحراف معیار را در ادامه بررسی خواهیم کرد:
1-میانگین تمام نقاط داده به دست می آید. سپس مجموع تمام نقاط داده بر تعداد کل نقاط داده تقسیم می شود تا میانگین مشخص شود.
2- واریانس هر نقطه داده تعیین می شود. سپس، واریانس برای هر یک از آن ها با کسر میانگین از مقدار داده برای هر نقطه داده به دست می آید.
3- مجذور واریانس هر نقطه داده محاسبه می شود. (مرحله 2)
4- مقادیر مجذور واریانس ها با هم جمع می شوند. (مرحله 3)
5- تعداد مشاهدات در مجموعه داده کم تر از 1، معادل مجموع مقادیر واریانس مجذور است (مرحله 4)
6- جذر ضریب تعیین می شود. (مرحله 5)
حتما بخوانید: نکات عمومی و پیشرفته ریاضی در نرم افزار متلب
انحراف استاندارد داده های گروه بندی شده
اگر داده های گروه بندی شده یا توزیع فرکانس گروه بندی شده وجود داشت، می توان از فراوانی مقادیر داده ها برای محاسبه انحراف استاندارد استفاده کرد. اجازه بدهید برای درک بهتر فرمول انحراف معیار برای داده های گروه بندی شده مثالی بزنیم:
مثال: میانگین، واریانس و انحراف معیار برای داده های زیر را محاسبه کنید:
| فاصله رده‌ای | 10-0 | 20-10 | 30-20 | 40-30 | 50-40 | 60-50 |
| فراوانی | 27 | 10 | 7 | 5 | 4 | 2 |
راه حل:
| فاصله رده‌ای | فراوانی | مقدار میانی (xi) | fxi | fxi2 |
| 10-0 | 27 | 5 | 135 | 675 |
| 20-10 | 10 | 15 | 150 | 2250 |
| 30-20 | 7 | 25 | 175 | 4375 |
| 40-30 | 5 | 35 | 175 | 6125 |
| 50-40 | 4 | 45 | 180 | 8100 |
| 60-50 | 2 | 55 | 110 | 6050 |
تعداد:
N=∑f=55
میانگین:
(∑fxi)/N = 925/55 = 16.818
واریانس:
1/(N – 1)[∑fxi2 –1/N(∑fxi)2]
=1/(55 – 1) [27575 -(1/55) (925)2]
=(1/54) [27575 -15556.8182]
=222.559
انحراف معیار:
=√222.559 =14.918
انحراف معیار داده های گروه بندی نشده
برای مجموعه های مختلف داده ها، از روش های متفاوتی برای محاسبه انحراف معیار استفاده می شود. پراکندگی، واگرایی داده ها را از مکان وسط یا میانگین اندازه گیری می کند. انحراف معیار را می توان با استفاده از یکی از دو روش زیر به دست آورد:
1-روش میانگین واقعی
فرمول روش میانگین واقعی به صورت زیر خواهد بود:
σ=√(∑x−x̄)2 /n)
حالا بیایید برای درک بهتر با اعداد 3، 2، 5 و 6 مثالی بزنیم.
با استفاده از فرمولی که در بالا گفته شد، میانگین را محاسبه می کنیم:
4=4/16
اختلاف مجذور اعداد از میانگین را به دست می آوریم:
10=+++
به طور مشابه، واریانس که برابر مربع اختلاف اعداد از میانگین / تعداد نقاط داده است را محاسبه می کنیم:
=10/4=2.5
حالا با استفاده از فرمول بالا، انحراف معیار برابر است با:
=√2.5=1.58
2- روش میانگین فرضی
وقتی مقادیر x بزرگ هستند، میانگین با انتخاب یک مقدار دلخواه (A) تعیین می شود. گاهی اوقات به این مقدار دل خواه، میانگین فرضی هم گفته می شود. انحراف از این میانگین فرضی به صورت d=x-A محاسبه می شود.
σ=√[(∑(d)2 /n) – (∑d/n)2]
انحراف معیار متغیر های تصادفی
یک معیار توزیع یک پراکندگی متغیر تصادفی است که مشخص می کند تا چه اندازه مقادیر از مقدار مورد انتظار انحراف دارند.
نوشتن X به عنوان انحراف استاندارد متغیر تصادفی X رایج است.
حتما دانلود کنید: آموزش صفر تا صد زبان انگلیسی با 32 درس رایگان
هنگام سر و کار داشتن با متغیر های تصادفی گسسته، انحراف معیار با افزودن مجذور اختلاف بین مقدار متغیر تصادفی و مقدار مورد انتظار و ضرب در هر یک از مقادیر متغیر تصادفی و گرفتن جذر مجموع تعیین می شود.
معادله:
σ=
واریانس هم که برابر با مجذور انحراف معیار است:
Var(X) =
دانلود جزوه PDF رایگان
جزوه خلاصه آموزش آمار – واریانس، انحراف معیارآموزش ویدیویی انحراف معیار
مثال انحراف معیار
حالا بیایید انحراف معیار تعداد سکه های طلا در یک کشتی را محاسبه کنیم.
در یک کشتی، در مجموع 100 نفر هستند . طبق آمار 100 نفر جمعیت را تشکیل می دهند. بنابراین، اگر تعداد کل سکه های طلای هر فرد را بدانید، می توانید از معادله انحراف معیار برای کل جمعیت استفاده کنید.
دانلود کنید: آموزش ریاضیات گسسته از صفر تا صد (15 درس)
اجازه بدهید یک نمونه 5 نفره را به عنوان مثال در نظر بگیریم و معادله انحراف معیار را برای این گروه بنویسیم. با اندازه نمونه 5، می توانید از معادله انحراف معیار برای محاسبه نمونه جامعه استفاده کنید.
فرض کنید پنج نفر این تعداد سکه طلا دارند:
4، 2، 5، 8 و 6
میانگین:
x̄= مجموع مشاهدات / تعداد کل مشاهدات
=4+2+5+8+6/5
=5
حالا xn-x̄ برای هر مقدار داده شده در مجموعه داده را محاسبه می کنیم:
4-5= -1
2-5= -3
5-5= 0
8-5= 3
6-5= 1
∑=++++
=20
انحراف معیار
σ= √[ ∑(x – x̄) 2 / N ]
=√20/4
=√5
=2.236
=2.236
یه ترفند عالی: روش کاهش حجم ویدیو تا 10 برابر بدون کاهش کیفیت
