آموزش ریاضیات گسسته از صفر تا صد (و نکات و اصول)

ریاضیات به دو شاخه تقسیم می شود: ریاضیات پیوسته و ریاضیات گسسته. ریاضیات پیوسته مطالعه اعداد حقیقی است که نتیجه آنها بی نهایت و نامحدود است. در ریاضیات گسسته همانطور که از نامش پیداست مقادیر متمایز مطالعه می شوند و نتیجه آنها نیز محدود و قابل شمارش است. مطالعه ریاضیات گسسته بسیار مفید است زیرا قدرت استدلال و منطق را افزایش می دهد. علاوه بر این جز برنامه درسی دانشجویان نیز می باشد.

مباحثی که در ریاضیات گسسته گنجانده شده است، عبارتند از:

• نظریه مجموعه ها
• جايگشت و تركيب
• نظریه گراف
• منطق
• دنباله و سری

نظریه مجموعه ها

مجموعه ها چیزی جز دسته ای از اشیا نیست. به عنوان مثال مجموعه پنج عدد طبیعی اول:

{1, 2, 3, 4, 5}

در این مبحث درباره مفاهیم و تعاریف مربوط به مجموعه ها صحبت می شود. علاوه بر این با نحوه نمایش یک مجموعه، انواع مجموعه ها، زیر مجموعه ها، نمودارهای ون (Venn) و قوانین جبر مجموعه ها نیز آشنا خواهید شد.

بیشتر رشته های ریاضی از مجموعه ها استفاده کرده یا به آنها اشاره می کنند. به حل مسائل مبتنی بر دنباله، احتمال و هندسه کمک می کند.

جايگشت و تركيب

جايگشت و تركيب انواع راه هايی را نشان می دهند كه به وسيله آنها مي توان اشیا را براي ايجاد مجموعه ها انتخاب كرد.

جایگشت را به صورت زیر محاسبه کنیم:

nPr = (n!) / (n-r)!

ترکیب را به صورت زیر محاسبه کنیم:

nCr = n! / r! (n-r)!

منطق

منطق چیزی است که به عنوان استدلال معتبر می شناسیم. علوم کامپیوتر نیز روی منطق کار می کند و در آن از گیت های منطقی مثل AND، OR و NOT برای حل مسائل استفاده می شود.

نظریه گراف

نمودار یک ساختار ریاضی است که برای نمایش رابطه بین اشیا استفاده می شود. شامل گره هایی است که توسط یال ها به هم متصل می شوند. گراف ها مطالعه و تجزیه و تحلیل داده ها با حجم زیاد را آسانتر و راحتتر می کنند.

دنباله و سری

دنباله رشته ای از اعداد در یک ترتیب خاص است در حالی که سری حاصل جمع اعدادی است که به ترتیب مرتب شده اند.

مثال از ریاضیات گسسته

1- اگر S و T دو مجموعه باشند به طوری که تعداد عناصر S، T و S ∩ T به ترتیب برابر با 21، 32 و 11 باشد، مجموعه S ∪ T چند عنصر دارد؟

راه حل:

n(S) = 21 (تعداد عناصر مجموعه S)

n(T) = 32(تعداد عناصر مجموعه T)

n(S∩T) = 11(تعداد عناصر مجموعه S∩T)

n(S ∪ T) = n(S) + n(T) – n(S∩T) (تعداد عناصر مجموعه S ∪ T)

= 21+ 32+ 11

= 42

بنابراین مجموعه S ∪ T شامل 42 عنصر است.

2- چند عدد سه رقمی را می توان با استفاده از رقم های 1 تا 9 بدون تکرار رقم تشکیل داد؟

راه حل:

رقم های موجود= 9

مکان های موجود= 3

 ⁿP_r = (n!) / (n-r)!

 جایگشت = 9! / (9-3)!

=9*8*7*6! / 6!

=504

504 عدد می توان تشکیل داد.

3- یک مرد بازپرداخت وام خود را با 100دلار برای اولین قسط شروع می کند.. اگر هر ماه مقدار قسط او 5 دلار افزایش یابد. چه مبلغی را در قسط 30ام باید بپردازد؟

راه حل:

100, 105, 110, ….

اولین جمله = 100

(فاصله بین هر دو جمله) d = 5

(جمله 30 ام)A₃₀  = a + (30 – 1)d

= 100+ (29) (5)

= 245.

بنابراین مبلغ قابل پرداخت در قسط 30ام برابر با 245 دلار است.

آموزشهای ریاضیات گسسته و سپس مفاهیم و اصول مهم

• هر درسی کار نکرد حتما در بخش نظرات اعلام کنید تا مشکل سریعا رفع شود
• برای مشاهده بهتر ویدیوها در موبایل، گوشی را افقی نگه دارید. اگر اروری مشاهده کردید بخاطر روشن بودن وی پی ان است. 

از پیج ارشد کامپیوتر:

حتما دانلود کنید: آموزش صفر تا صد زبان انگلیسی با 32 درس رایگان +جزوه های PDf

این اصول و مبانی ریاضیات گسسته یعنی 80 درصد یادگیری!!

فهمیدیم که ریاضیات گسسته یکی از شاخه‌های مهم ریاضیات است که به مطالعه ساختارهای گسسته (یعنی ساختارهایی که پیوسته نیستند) می‌پردازد. این شاخه از ریاضیات در علوم کامپیوتر، رمزنگاری، نظریه گراف و بسیاری از حوزه‌های دیگر کاربرد دارد. در این آموزش، مفاهیم و اصول مهم ریاضیات گسسته را به زبان ساده و قابل فهم برای مبتدیان توضیح می‌دهیم.

۱. مفاهیم پایه‌ای

• ریاضیات گسسته: مطالعه ساختارهای ریاضی که پیوسته نیستند و از عناصر مجزا تشکیل شده‌اند.

• ساختارهای گسسته: مجموعه‌ها، گراف‌ها، درخت‌ها، اعداد صحیح و غیره.

۲. مجموعه‌ها (Sets)

• تعریف: مجموعه‌ها گروهی از اشیاء متمایز هستند که اعضای مجموعه نامیده می‌شوند.

• نمادها: مجموعه‌ها با حروف بزرگ (مثل A, B) و اعضا با حروف کوچک (مثل a, b) نشان داده می‌شوند.

• عملیات روی مجموعه‌ها:

  • اجتماع (Union): مجموعه‌ای از تمام عناصری که در A یا B هستند. نماد: A ∪ B.

  • اشتراک (Intersection): مجموعه‌ای از عناصری که هم در A و هم در B هستند. نماد: A ∩ B.

  • تفاضل (Difference): مجموعه‌ای از عناصری که در A هستند اما در B نیستند. نماد: A - B.

  • مکمل (Complement): مجموعه‌ای از عناصری که در مجموعه جهانی هستند اما در A نیستند. نماد: A'.

۳. منطق (Logic)

• گزاره (Proposition): جمله‌ای که می‌تواند درست (True) یا نادرست (False) باشد.

• عملگرهای منطقی:

  • NOT (نفی): ¬P (نقیض P).

  • AND (و): P ∧ Q (درست اگر هر دو P و Q درست باشند).

  • OR (یا): P ∨ Q (درست اگر حداقل یکی از P یا Q درست باشد).

  • شرطی (Implication): P → Q (اگر P درست باشد، آنگاه Q درست است).

  • دوشرطی (Biconditional): P ↔ Q (P اگر و فقط اگر Q).

۴. روابط و توابع (Relations and Functions)

• زوج مرتب (Ordered Pair): دو عنصر که ترتیب آن‌ها مهم است. مثال: (a, b).

• ضرب دکارتی (Cartesian Product): مجموعه‌ای از تمام زوج‌های مرتب ممکن از دو مجموعه. مثال: A × B.

• رابطه (Relation): زیرمجموعه‌ای از ضرب دکارتی دو مجموعه. مثال: R ⊆ A × B.

• تابع (Function): رابطه‌ای که هر عنصر از مجموعه اول را به دقیقاً یک عنصر از مجموعه دوم مرتبط می‌کند. مثال: f: A → B.

۵. نظریه گراف (Graph Theory)

• گراف (Graph): مجموعه‌ای از رئوس (Vertices) و یال‌ها (Edges) که رئوس را به هم متصل می‌کنند.

• انواع گراف:

  • گراف ساده (Simple Graph): بدون حلقه و یال‌های تکراری.

  • گراف جهت‌دار (Directed Graph): یال‌ها جهت دارند.

  • گراف وزن‌دار (Weighted Graph): یال‌ها وزن دارند.

• مفاهیم مهم:

  • درجه رأس (Degree): تعداد یال‌های متصل به یک رأس.

  • مسیر (Path): دنباله‌ای از رئوس که با یال‌ها به هم متصل شده‌اند.

  • دور (Cycle): مسیری که به رأس شروع بازمی‌گردد.

۶. ترکیبیات (Combinatorics)

• ترکیبیات: مطالعه روش‌های شمارش و چیدمان اشیاء.

• اصول شمارش:

  • اصل جمع (Sum Rule): اگر کاری به m روش و کار دیگر به n روش انجام شود، انتخاب یکی از این دو کار به m + n روش انجام می‌شود.

  • اصل ضرب (Product Rule): اگر کاری به m روش و کار دیگر به n روش انجام شود، انجام هر دو کار به m × n روش انجام می‌شود.

• ترتیب (Permutation): چیدمان اشیاء با توجه به ترتیب. مثال: تعداد روش‌های چیدن n شیء به صورت مرتب: n!.

• ترکیب (Combination): انتخاب اشیاء بدون توجه به ترتیب. مثال: تعداد روش‌های انتخاب k شیء از n شیء: C(n, k) = n! / (k!(n-k)!).

۷. روابط بازگشتی (Recurrence Relations)

• تعریف: رابطه‌ای که یک دنباله را بر اساس مقادیر قبلی تعریف می‌کند.

• مثال: دنباله فیبوناچی: F(n) = F(n-1) + F(n-2) با شرایط اولیه F(0) = 0 و F(1) = 1.

۸. نظریه اعداد (Number Theory)

• اعداد اول (Prime Numbers): اعداد طبیعی بزرگتر از 1 که فقط بر 1 و خودشان بخش‌پذیر هستند.

• بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (GCD): بزرگ‌ترین عددی که دو عدد را بدون باقیمانده تقسیم می‌کند.

• کوچک‌ترین مضرب مشترک (LCM): کوچک‌ترین عددی که مضرب دو عدد باشد.

۹. جبر بول (Boolean Algebra)

• متغیرهای بول: متغیرهایی که فقط دو مقدار True (1) یا False (0) می‌گیرند.

• عملگرهای بول:

  • AND (·): نتیجه True اگر هر دو ورودی True باشند.

  • OR (+): نتیجه True اگر حداقل یکی از ورودی‌ها True باشد.

  • NOT (¬): نقیض ورودی.

• قوانین جبر بول:

  • جابه‌جایی (Commutative): A + B = B + A, A · B = B · A.

  • توزیع‌پذیری (Distributive): A · (B + C) = (A · B) + (A · C).

سوالات متداول در مورد ریاضیات گسسته

حوزه های کاربردی ریاضیات گسسته چیست؟

جواب: ریاضیات گسسته در زمینه های مختلف مانند راه آهن، علوم کامپیوتر، رمزنگاری، زبان های برنامه نویسی و .. مورد استفاده قرار می گیرد.

یک مثال از ریاضیات گسسته در دنیای واقعی ارائه دهید.

جواب: در راه آهن برای تصمیم گیری برای زمان بندی، برنامه قطارها و تشکیل خطوط استفاده می شود. در شمارش و ترتیب اجسام نیز مفید است.

فرمول مجموع n اعداد طبیعی اول کدام است؟

S_n = [n (n+1)] / 2

گیت های منطقی چیست؟

جواب: گیت های منطقی مهمترین بخش یک سیستم دیجیتال هستند و مقادیر بولی (0 یا 1) را پیاده سازی می کنند.

قدرت یک مجموعه مثل X چیست؟

جواب: قدرت مجموعه X مجموع همه زیر مجموعه های آن است.

حتما بخوانید: نکات عمومی و پیشرفته ریاضی در نرم افزار متلب